核心结论：cos2x=1+tan2x1−tan2x​，这个就是余弦万能公式（也叫半角万能代换），万能代换设 t=tanx，利用同角三角函数关系，把cos2x全部转化成tanx表达式，是三角积分、解三角方程高频公式，同时配套还有sin2x=1+tan2x2tanx​，两个公式经常一起记忆。

推导过程

第一步 二倍角公式

cos2x=cos2x−sin2x

第二步 分子分母同时除以cos2x（前提cosx=0）

cos2x=cos2x+sin2xcos2x−sin2x​

分母cos2x+sin2x=1，恒等式，不改变原式大小

分子除以cos2x：cos2xcos2x−sin2x​=1−tan2x

分母除以cos2x：cos2xcos2x+sin2x​=1+tan2x

第三步 得到结果

cos2x=1+tan2x1−tan2x​

配套万能公式对照

公式表达式
cos2x1+tan2x1−tan2x​
sin2x1+tan2x2tanx​
tan2x1−tan2x2tanx​

使用前提与易错点

1 适用条件：cosx=0，也就是x=2π​+kπ，这个位置tanx无意义，公式不能用

2 万能代换本质是齐次分式，依靠sin2x+cos2x=1这个恒等式做变形

3 不要和二倍角另外两种形式混淆：cos2x=2cos2x−1=1−2sin2x，这是二倍角变形，不是万能公式

FAQ

问题 1 cos2x 的万能公式推导，能不能用 t=tan (x/2) 推导？

回答 1 cos2x 的万能公式推导，如果是整体万能代换 t=tan (x/2)，那是cosα=1+t21−t2​，令α=2x也可以得到，两种推导思路都成立。

问题 2 cos2x 的万能公式推导，为什么分母是 1+tan²x？

回答 2 cos2x 的万能公式推导，因为1+tan2x=sec2x，来自1+cos2xsin2x​=cos2xcos2x+sin2x​。

问题 3 cos2x 的万能公式推导，这个公式主要用来做什么？

回答 3 cos2x 的万能公式推导之后，主要用于三角有理式积分、三角方程求解，把三角函数全部换成 tan，变成代数方程。

免责申明：本内容为高中数学三角函数推导学习参考，做题注意定义域限制，考试书写推导步骤要写清除以 cos²x 这一步。