【积分敛散性判别口诀】在数学分析中，判断积分的收敛性是一个重要的问题。尤其是对于无穷区间上的积分或被积函数在某点附近无界的积分，如何判断其是否收敛，常常需要借助一些基本的判别方法和技巧。为了便于记忆和应用，这里总结了一些常见的积分敛散性判别方法，并结合口诀形式进行归纳整理。
一、积分敛散性判别方法总结
| 判别方法 | 适用范围 | 判别条件 | 口诀 |
| 比较判别法 | 正项积分 | 若 $ f(x) \leq g(x) $，且 $ \int_a^b g(x)\,dx $ 收敛，则 $ \int_a^b f(x)\,dx $ 收敛；反之若 $ f(x) \geq g(x) $ 且 $ \int_a^b g(x)\,dx $ 发散，则 $ \int_a^b f(x)\,dx $ 发散 | “比上小，收敛；比下大，发散” |
| 极限比较判别法 | 正项积分 | 若 $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = L $（$ 0 < L < \infty $），则 $ \int_a^b f(x)\,dx $ 与 $ \int_a^b g(x)\,dx $ 同敛散 | “极限相等，同敛散” |
| 比值判别法 | 正项级数 | 若 $ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = r $，当 $ r < 1 $ 时收敛，$ r > 1 $ 时发散 | “比值小于1，收敛；大于1，发散” |
| 根值判别法 | 正项级数 | 若 $ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = r $，当 $ r < 1 $ 时收敛，$ r > 1 $ 时发散 | “根号小于1，收敛；大于1，发散” |
| 柯西判别法 | 正项级数 | 若 $ \lim_{n \to \infty} n(a_n)^{1/n} = r $，当 $ r < 1 $ 时收敛，$ r > 1 $ 时发散 | “柯西判别看指数，小于1才收敛” |
| 狄利克雷判别法 | 任意积分 | 若 $ u(x) $ 单调有界，$ v(x) $ 在区间上可积，且 $ \int_a^b v(x)\,dx $ 有界，则 $ \int_a^b u(x)v(x)\,dx $ 收敛 | “单调有界乘有界，积分收敛不难求” |
二、常见积分类型的敛散性判断口诀
| 积分类型 | 判别方法 | 口诀 |
| 无穷区间积分（如 $ \int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx $） | p-积分 | “p大于1，收敛；小于等于1，发散” |
| 无界函数积分（如 $ \int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx $） | p-积分 | “p小于1，收敛；大于等于1，发散” |
| 三角函数积分（如 $ \int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx $） | 狄利克雷判别法 | “正弦除以x，积分收敛不难” |
| 有理函数积分 | 比较判别法 | “分子比分母低，积分收敛有希望” |
三、总结
积分敛散性的判断是数学分析中的基础内容，掌握常用的方法和判别口诀有助于快速判断积分的收敛性。通过对比、极限比较、比值、根值等方法，可以有效解决大部分正项积分和任意积分的问题。同时，针对特定类型的积分（如p-积分、三角函数积分等），也有相应的简化口诀可供参考。
这些方法不仅适用于考试复习，也适用于实际计算和理论研究，是学习高等数学不可或缺的一部分。
提示： 实际应用中，应根据具体函数的形式选择合适的判别方法，避免误用导致结论错误。
