【sinz的绝对值是无界的吗】在复变函数中，函数 $ \sin z $ 的性质与实数域中的 $ \sin x $ 有显著不同。对于实数 $ x $，$ \sin x $ 的取值范围始终在区间 $ [-1, 1] $ 内，因此其绝对值是有界的。然而，在复数域中，情况则完全不同。
在复数域中，函数 $ \sin z $ 是一个整函数（即在整个复平面上解析），并且它并不是有界的。事实上，$
这一现象可以通过 $ \sin z $ 的定义来理解：
$$
\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}
$$
当 $ z $ 的虚部增加时，指数项 $ e^{iz} $ 和 $ e^{-iz} $ 的模会迅速增长，导致 $ \sin z $ 的绝对值也变得非常大。因此，$
表格对比：
| 项目 | 实数域 $ \sin x $ | 复数域 $ \sin z $ |
| 定义域 | 实数 $ x \in \mathbb{R} $ | 复数 $ z \in \mathbb{C} $ |
| 值域 | $ [-1, 1] $ | 无界（可趋向于无穷大） |
| 是否有界 | 有界 | 无界 |
| 典型行为 | 周期性、震荡 | 非周期、随虚部增大而发散 |
| 例子 | $ \sin(0) = 0 $, $ \sin(\pi/2) = 1 $ | $ \sin(i) = i \cdot \sinh(1) \approx 1.175i $, 模为 1.175；$ \sin(100i) $ 模远大于 1 |
结论：
sinz的绝对值是无界的。在复数域中，$ \sin z $ 不像在实数域中那样被限制在有限范围内，而是可以无限增大。这是复变函数中一个重要的特性，体现了复分析与实分析之间的差异。
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