【复合函数怎么求导】在数学中，复合函数的求导是微积分中的一个重要内容。复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数，其形式为 $ y = f(g(x)) $。要对这样的函数求导，需要用到链式法则（Chain Rule）。本文将总结复合函数求导的基本方法，并通过表格形式清晰展示常见类型的复合函数及其求导步骤。
一、复合函数求导的基本方法
复合函数的求导遵循链式法则，即：
$$
\frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
也就是说，先对外层函数求导，再乘以内层函数的导数。
二、常见复合函数类型及求导方法
| 复合函数形式 | 外层函数 | 内层函数 | 求导步骤 | 示例 |
| $ y = f(u) $，其中 $ u = g(x) $ | $ f(u) $ | $ g(x) $ | 先对 $ f(u) $ 求导，再乘以 $ g'(x) $ | $ y = \sin(2x) $，导数为 $ \cos(2x) \cdot 2 $ |
| $ y = [g(x)]^n $ | $ u^n $ | $ g(x) $ | 使用幂函数导数公式，乘以内层导数 | $ y = (3x+1)^4 $，导数为 $ 4(3x+1)^3 \cdot 3 $ |
| $ y = e^{g(x)} $ | $ e^u $ | $ g(x) $ | 导数为 $ e^{g(x)} \cdot g'(x) $ | $ y = e^{x^2} $，导数为 $ e^{x^2} \cdot 2x $ |
| $ y = \ln(g(x)) $ | $ \ln(u) $ | $ g(x) $ | 导数为 $ \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x) $ | $ y = \ln(5x) $，导数为 $ \frac{1}{5x} \cdot 5 = \frac{1}{x} $ |
| $ y = \sin(g(x)) $ | $ \sin(u) $ | $ g(x) $ | 导数为 $ \cos(g(x)) \cdot g'(x) $ | $ y = \sin(x^3) $，导数为 $ \cos(x^3) \cdot 3x^2 $ |
三、注意事项
1. 识别外层与内层函数：在应用链式法则前，首先要明确哪个是外层函数，哪个是内层函数。
2. 逐层求导：如果有多个嵌套函数，如 $ y = f(g(h(x))) $，则需要多次应用链式法则。
3. 避免混淆导数符号：注意区分 $ f'(x) $ 和 $ f'(g(x)) $ 的含义。
四、总结
复合函数的求导是微积分中的基础技能，掌握好链式法则能够帮助我们快速解决各种复杂的导数问题。通过理解外层与内层函数的关系，并结合常见的函数类型进行练习，可以有效提升解题能力。建议多做相关习题，巩固对复合函数导数的理解和应用。
