在数学中，数列是一种按照一定规律排列的一组数。研究数列时，我们通常需要找到其通项公式，以便能够快速计算出任意一项的值。以下是一些常见的数列及其通项公式。

1. 等差数列

等差数列是指每一项与前一项的差是一个常数的数列。设首项为 \(a_1\)，公差为 \(d\)，则其通项公式为：

\[

a_n = a_1 + (n-1)d

\]

例如，数列 3, 5, 7, 9, ... 的首项 \(a_1 = 3\)，公差 \(d = 2\)，因此第 \(n\) 项为：

\[

a_n = 3 + (n-1) \cdot 2 = 2n + 1

\]

2. 等比数列

等比数列是指每一项与前一项的比值是一个常数的数列。设首项为 \(a_1\)，公比为 \(q\)，则其通项公式为：

\[

a_n = a_1 \cdot q^{n-1}

\]

例如，数列 2, 6, 18, 54, ... 的首项 \(a_1 = 2\)，公比 \(q = 3\)，因此第 \(n\) 项为：

\[

a_n = 2 \cdot 3^{n-1}

\]

3. 斐波那契数列

斐波那契数列是一个特殊的递归数列，其定义为：

\[

F_1 = 1, \quad F_2 = 1, \quad F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \quad (n \geq 3)

\]

虽然斐波那契数列没有简单的通项公式，但可以通过 Binet 公式近似表示：

\[

F_n = \frac{\phi^n - (-\phi)^{-n}}{\sqrt{5}}

\]

其中，\(\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\) 是黄金比例。

4. 平方数列

平方数列是指每一项等于其序号的平方。其通项公式为：

\[

a_n = n^2

\]

例如，数列 1, 4, 9, 16, ... 的第 \(n\) 项为 \(n^2\)。

5. 立方数列

立方数列是指每一项等于其序号的立方。其通项公式为：

\[

a_n = n^3

\]

例如，数列 1, 8, 27, 64, ... 的第 \(n\) 项为 \(n^3\)。

6. 调和数列

调和数列是指每一项的倒数构成一个等差数列。其通项公式为：

\[

a_n = \frac{1}{n}

\]

例如，数列 1, \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), ... 的第 \(n\) 项为 \(\frac{1}{n}\)。

通过以上公式，我们可以方便地计算各种常见数列的任意一项。掌握这些基本公式对于解决实际问题和进一步学习数学理论都具有重要意义。